Đề thi và đáp án kì thi học sinh giỏi quốc gia THPT môn Toán năm 2024 - 2025 - Ngày 1

Đề thi chính thức môn Toán trong kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm học 2024 - 2025, ngày thi thứ nhất. Đề thi do Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành, dành cho học sinh trung học phổ thông. Kỳ thi diễn ra vào ngày 25/12/2024, với thời gian làm bài là 180 phút (không kể thời gian giao đề).

Thông tin chi tiết về đề thi:

• Cấp độ: Học sinh giỏi Quốc gia, bậc Trung học Phổ thông
• Môn thi: Toán
• Năm học: 2024 - 2025
• Thời gian làm bài: 180 phút
• Ngày thi: 25/12/2024
• Số lượng câu hỏi: 3

Các dạng bài có trong đề thi:

Đề thi bao gồm các dạng bài tập trung vào các chủ đề chính như sau:

• Đại số:
  • Bài toán liên quan đến tính chất nghiệm của đa thức.
  • Bài toán về dãy số, giới hạn của dãy số.
  • Bài toán liên quan đến số nguyên và đồng dư.
• Hình học:
  • Bài toán hình học phẳng liên quan đến đường tròn, tam giác và các đường thẳng đặc biệt (đường cao, trung tuyến, đường vuông góc).
  • Các bài toán yêu cầu chứng minh các tính chất hình học, các quan hệ giữa các điểm, đường thẳng.

Trích dẫn một số bài toán:

Câu 1 (7,0 điểm):

• Cho đa thức P(x) = x⁴ – x³ + x.
  • a) Chứng minh rằng với mọi số dương a, đa thức P(x) – a có duy nhất một nghiệm dương.
  • b) Xét dãy số (a_n) được xác định bởi a₁ = 1/3 và với mọi n ≥ 1, a_n+1 là nghiệm dương của đa thức P(x) – a_n. Chứng minh rằng dãy (a_n) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 2 (7,0 điểm):

• Với mỗi số nguyên n ≥ 0, đặt u_n = (2 + √5)ⁿ + (2 - √5)ⁿ.
  • a) Chứng minh rằng u_n là số nguyên dương với mọi n ≥ 0. Khi n thay đổi, số dư của u_n khi chia cho 24 lớn nhất bằng bao nhiêu?
  • b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) với a, b nhỏ hơn 500 sao cho với mọi n lẻ ta có u_n ≡ aⁿ - bⁿ (mod 1111).

Câu 3 (6,0 điểm):

• Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Đường thẳng AH cắt lại (O) tại điểm D khác A. Gọi E và F tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng AB và AC. Đường thẳng đi qua H và vuông góc với HF cắt đường thẳng BC tại điểm K.
  • a) Đường thẳng DK cắt lại (O) tại điểm Y khác D. Chứng minh rằng giao điểm của đường thẳng BY và đường trung trực của đoạn thẳng BK nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OFY.
  • b) Đường thẳng đi qua H và vuông góc với HE cắt đường thẳng BC tại điểm L. Đường thẳng DL cắt lại (O) tại điểm Z khác D. Gọi M, N và P tương ứng là giao điểm của các cặp đường thẳng (BZ, OE), (CY, OF) và (BY, CZ). Gọi T là giao điểm của cặp đường thẳng (YZ, MN) và d là đường thẳng đi qua T và vuông góc với OA. Chứng minh rằng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AP.

Hy vọng tài liệu này hữu ích cho bạn trong quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới khác. Chúc bạn thành công!