Đề Thi Tuyển Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia Toán THPT 2026-2027 Đà Nẵng – Lời Giải Chi Tiết

MeToan.Com hân hạnh giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh yêu Toán Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2026 – 2027 do Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Đà Nẵng tổ chức. Kỳ thi quan trọng này diễn ra vào ngày 23 và 24 tháng 09 năm 2026. Đề thi được cung cấp kèm theo đáp án và lời giải chi tiết, giúp các em ôn tập hiệu quả.

Nội dung chính của đề thi:

Đề thi bao gồm hai bài toán đòi hỏi tư duy sâu sắc và kỹ năng giải quyết vấn đề cao:

• Bài toán 1: Liên quan đến phương trình hàm số học $\phi(\phi(n) + k) = n – k$, với $n$ và $k$ là các số nguyên dương. Bài toán này bao gồm hai phần nhỏ:

  • Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $k$ cố định, chỉ có hữu hạn số tự nhiên $n$ là hợp số thỏa mãn phương trình đã cho.
  • Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của $k$ sao cho phương trình có vô số nghiệm nguyên dương $n$. (Trong đó, $\phi(m)$ ký hiệu là hàm số Euler, đếm số các số nguyên dương không vượt quá $m$ và nguyên tố cùng nhau với $m$).

• Bài toán 2: Bài toán hình học phẳng phức tạp với các yếu tố về đường tròn, tam giác, đường kính, hình bình hành và các điểm đặc biệt. Cụ thể:

  • Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường kính $AA'$, $BB'$ của đường tròn $(O)$ và điểm $D$ được dựng sao cho $A'CB'D$ là hình bình hành. $M$ là trung điểm cạnh $BC$, $E$ là giao điểm của $BD$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CD$ và $AB$. $H_1, H_2$ lần lượt là trực tâm của tam giác $BEC$ và $BFC$.
  • Yêu cầu thứ nhất là chứng minh hai tam giác $ABC$ và $MH_1H_2$ có cùng trực tâm.
  • Yêu cầu thứ hai liên quan đến các giao điểm phức tạp hơn: Đường thẳng $BC$ cắt các đường thẳng $A'D$, $H_1H_2$ lần lượt tại $K, T$. $S, G, I$ là các giao điểm của các cặp đường thẳng $(MH_2, KH_1)$, $(KH_2, MH_1)$ và $(SG, H_1H_2)$. Gọi $X$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên $ST$. Chứng minh bốn điểm $S, X, I$ và trung điểm của đoạn thẳng $H_1H_2$ cùng nằm trên một đường tròn.

Đây là cơ hội tuyệt vời để các em học sinh hệ Trung học Phổ thông rèn luyện kỹ năng giải toán, chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi HSG Quốc gia sắp tới.