Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 2)

Đề thi chọn HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 2)

Vào ngày 23 tháng 09 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đắk Lắk đã tổ chức kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏi quốc gia THPT môn Toán năm học 2020 – 2021 (ngày thi thứ hai).

Đề thi được sử dụng trong kỳ thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 của Sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 2) gồm 01 trang với 04 bài toán, thời gian làm bài là 180 phút.

Dưới đây là một số bài toán được trích dẫn từ đề thi:

• Bài toán 1: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho tồn tại các số nguyên a1, a2 … an để đa thức fn(x) = x^2n+2 – 2(a1 + a2 + … + an)^2.x^n+1 + (a1^4 + a2^4 + … + an^4 + 1) có ít nhất một nghiệm nguyên.
• Bài toán 2: Cho a, b là hai số nguyên dương sao cho (a + b^3)/(a^2 + 3ab + 3b^2 – 1) là một số nguyên. Chứng minh rằng a^2 + 3ab + 3b^2 – 1 chia hết cho lập phương của một số nguyên lớn hơn 1.
• Bài toán 3: Cho tam giác ABC, đường tròn (O) cắt cạnh BC tại hai điểm D, E (D nằm giữa B và E), cắt cạnh CA tại hai điểm F, G (F nằm giữa C và G) và cắt cạnh AB tại hai điểm H, I (H nằm giữa A và I). Gọi M là giao điểm của DF và EI, N là giao điểm của EG và FH, P là giao điểm của GI và HD. Chứng minh rằng các đường thẳng AM, BN và CP đồng quy tại một điểm.