Đề thi HSG Toán THPT cấp tỉnh Ninh Bình năm học 2018 - 2019 có lời giải

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh THPT năm học 2018 - 2019 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình được tổ chức thi vào ngày 11 tháng 9 năm 2018. Đề thi gồm 01 trang với 04 bài toán tự luận, thời gian làm bài 180 phút.

Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh Ninh Bình năm học 2018 - 2019 được tổ chức nhằm mục đích lựa chọn các em học sinh giỏi Toán tham dự kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia năm 2019.

Dưới đây là trích dẫn nội dung 2 trong số 4 bài toán của đề thi HSG Toán THPT cấp tỉnh Ninh Bình năm học 2018 - 2019:

Bài 1: Bạn Thanh viết lên bảng các số 1, 2, 3, …, 2019. Mỗi một bước Thanh xóa hai số a và b bất kỳ trên bảng và viết thêm số ab/(a + b + 1). Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau khi thực hiện 2018 bước trên bảng luôn còn lại số 1/2019.

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các hình bình hành ABMN và ACPQ sao cho tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAP. Gọi G là giao điểm của AQ và BM, H là giao điểm của AN và CP. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác GMQ, HNP cắt nhau tại E và F (E nằm trong đường tròn (O)). Chứng minh rằng ba điểm A, E, F thẳng hàng. Chứng minh rằng bốn điểm B, C, O, E cùng thuộc một đường tròn.