Đề thi HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2020 - 2021 Sở GD&ĐT Phú Yên

Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm học 2020 - 2021 tại Phú Yên

Vào ngày 30 tháng 03 năm 2021, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Yên đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp THPT cho năm học 2020 - 2021.

Đề thi gồm 01 trang với 06 bài toán tự luận, thời gian làm bài là 180 phút.

Nội dung chính trong đề thi HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2020 - 2021 Sở GD&ĐT Phú Yên:

Dưới đây là một số nội dung được trích dẫn từ đề thi:

Bài toán về hình học:

• Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AM, trực tâm H. Đường thẳng BH cắt đường tròn đường kính AC tại D, E (BD < BE). Đường thẳng CH cắt đường tròn đường kính AB tại F, G (CF < CG). Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMF cắt BC tại điểm thứ hai là N.
  • a) Chứng minh rằng các điểm G, M, N, E cùng thuộc một đường tròn.
  • b) Chứng minh rằng các đường thẳng BF, CD, HN đồng quy.

Bài toán về đại số:

• Cho P(x), Q(x) là các đa thức có hệ số cao nhất bằng 1 và các hệ số đều là số thực và deg P(x) = deg Q(x) = 2020. Chứng minh rằng nếu phương trình P(x) = Q(x) không có nghiệm thực thì phương trình P(x + 2021) = Q(x – 2021) có nghiệm thực.

Bài toán về số học:

• Cho p là số nguyên tố khác 2; a và b là hai số tự nhiên lẻ sao cho (a + b) chia hết cho p, (a − b) chia hết cho (p – 1). Chứng minh rằng (a^b + b^a) chia hết 2p.