Đề thi HSG Toán 12 THPT chuyên năm học 2019 - 2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT chuyên Vĩnh Phúc năm học 2019 - 2020

Ngày …/10/2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán 12 chương trình THPT chuyên năm học 2019 – 2020.

Đề thi được biên soạn theo hình thức tự luận, gồm 05 bài toán, thời gian làm bài 180 phút. Đề thi gồm 01 trang, có lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm.

Một số nội dung tiêu biểu trong đề thi:

• Bài toán hình học: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường tròn (A) có tâm A bán kính AE cắt đoạn thẳng AH tại điểm K. Đường thẳng IK cắt đường thẳng BC tại P. Các đường thẳng DK và PK cắt đường tròn (A) lần lượt tại Q và T khác K.

  • a) Chứng minh rằng tứ giác TDPQ nội tiếp và ba điểm Q, A, P thẳng hàng.
  • b) Đường thẳng DK cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai là X. Chứng minh rằng ba đường thẳng AX, EF, TI đồng quy.
  • c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính AP tiếp xúc với đường tròn (I).

• Bài toán đại số:

  • Cho P(x) là một đa thức khác hằng số với hệ số thực sao cho tất cả các nghiệm của nó đều là số thực. Giả sử tồn tại một đa thức Q(x) với hệ số thực sao cho (P(x))^2 = P(Q(x)) với mọi x thuộc R. Chứng minh rằng tất cả các nghiệm của đa thức P(x) đều bằng nhau.

• Bài toán số học:

  • Một tập hợp gồm 3 số nguyên dương được gọi là tập Pytago nếu 3 số này là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Chứng minh rằng với hai tập Pytago P, Q bất kỳ, ta luôn tìm được m tập Pytago P1, P2 … Pm (m ≥ 2) sao cho P1 = P, Pm = Q và Pi giao Pi+1 khác rỗng với mọi 1 ≤ i ≤ m – 1.