Đề thi HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm học 2020 - 2021 - Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu
Vào ngày 06 tháng 10 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2020 – 2021.
Đề thi gồm 02 trang với 05 bài toán tự luận, thời gian làm bài là 180 phút.
Dưới đây là một số nội dung chi tiết trong đề thi:
- Bài toán hình học:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ngoại tiếp đường tròn (I) với AB < AC. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với các đường thẳng BC, CA, AB. Các đường thẳng ID và EF cắt nhau tại J. Đường thẳng AJ cắt đường tròn (I) tại các điểm K và L với K nằm giữa A và L. Đường thẳng qua A và song song với BC cắt ID, EF lần lượt tại N và S. Đường thẳng qua K và song song BC cắt (I) tại điềm X (X khác K ). Đường thẳng qua L song song BC cắt (I) tại điểm Y (Y khác L). Các đường thẳng AX, AY cắt BC lần lượt tại Q, P.
a) Chứng minh ND là phân giác của ENF và AJ đi qua trung điểm M của BC.
b) Chứng minh M là trung điểm đoạn PQ.
- Bài toán tìm hàm:
Tìm tất cả các hàm số f: (0;+∞) → R thỏa mãn: f(x) + f(y) = (√x/y + √y/x).f(√xy) với mọi x, y > 0.
- Bài toán tổ hợp:
Trong không gian cho N điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng (N là số nguyên dương lớn hơn 3). Tất cả các cặp điểm trên được nối với nhau bởi nC2 đoạn thẳng. Mỗi đoạn thẳng được tô một trong hai màu xanh hoặc đỏ và thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i). Không có tam giác nào có đúng 1 cạnh xanh.
(ii). Không có 13 điểm nào mà tất cả các đoạn nối được tô cùng màu.
Chứng minh rằng N =< 144.
