Đề thi HSG Toán 12 năm 2017-2018 trường THPT Đan Phượng - Hà Nội (Có đáp án)
Đề thi Học Sinh Giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2017-2018 của trường THPT Đan Phượng - Hà Nội được biên soạn bám sát chương trình Toán 12 nâng cao, giúp học sinh lớp 12 ôn tập và làm quen với các dạng bài tập khó, từ đó đạt kết quả cao trong các kì thi học sinh giỏi Toán 12.
Đề thi HSG Toán 12 năm 2017 – 2018 trường THPT Đan Phượng – Hà Nội gồm 5 bài toán tự luận, thời gian làm bài 180 phút. Đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và thang điểm.
Trích dẫn một số nội dung trong đề thi:
Bài 1: Cho hàm số: y = (x – 1)/2(x + 1) (C). Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0.
Bài 2: Cho hàm số y = x^3 – 3(m+1)x – 2 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại một điểm.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho CD = CA. M là một điểm trên cạnh AB sao cho góc BDM = 1/2.ACD, N là giao điểm của MD và đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh DM = DN.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = a, góc BAC = 120 độ. Điểm S thay đổi trong không gian nhưng luôn nằm về 1 phía của mặt phẳng (ABC) và AS = a, góc SAB = 60 độ. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).
- a) Chứng minh rằng H thuộc đường thẳng cố định.
- b) Chứng minh rằng khi độ dài SH lớn nhất thì hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc với nhau và khi đó tính độ dài SC.
