Đề thi HSG cấp tỉnh Toán THPT năm 2022 - 2023 sở GD&ĐT Cà Mau

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT năm học 2022 – 2023 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Cà Mau; kỳ thi được diễn ra vào ngày 02 tháng 10 năm 2022.

Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Cà Mau:

• Bài 1: Hộp thứ nhất có 10 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Hộp thứ hai có 8 sản phẩm trong đó có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 sản phẩm. Tính xác suất để lấy được ít nhất 3 sản phẩm tốt.
• Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC (AC > BC) có các đường cao AH và BK (H thuộc BC, K thuộc AC). Trên đường tròn (O) đường kính AB, về phía trong tam giác ABC, lấy điểm D thay đổi. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD và BCD lần lượt cắt lại đường thẳng AB ở E, F. Giả sử AH cắt CE, CF lần lượt ở M, Q và BK cắt CE, CF lần lượt ở P, N.
  • a) Chứng minh rằng các điểm P, Q, D thẳng hàng.
  • b) Chứng minh tam giác CPQ vuông.
  • c) Gọi T là giao điểm của CD và MN. Chứng minh rằng điểm T luôn thuộc một đường tròn cố định khi điểm D di động.
• Bài 3: Cho hàm số f: R → R thỏa mãn: f(xf(y) – 1) + f(xy) = 2xy − 1 với mọi x, y thuộc R (*).
  • a) Chứng minh rằng f là đơn ánh.
  • b) Tìm tất cả các hàm số f thỏa (*).