Đề thi học sinh giỏi Toán năm học 2020 - 2021 sở GD&ĐT Bắc Giang

Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 - 2021 của tỉnh Bắc Giang

Vào thứ Ba, ngày 22 tháng 09 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc Giang đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2020 - 2021.

Đề thi học sinh giỏi Toán năm học 2020 - 2021 do sở GD&ĐT Bắc Giang biên soạn gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận. Thời gian làm bài thi là 180 phút (không kể thời gian phát đề).

Dưới đây là một số trích dẫn từ đề thi:

• Bài toán về xếp hàng mua bánh Trung thu:

Sắp đến ngày Tết Trung thu, tổ chức Smile Foundation của trường THPT chuyên Bắc Giang làm bánh gây quỹ từ thiện thường niên. Sản phẩm năm nay là một cặp bánh dẻo, bánh nướng có tổng giá cặp bánh đó là 50000 đồng. Do số lượng có hạn nên mỗi bạn chỉ được mua đúng một cặp. Để mua bánh các bạn học sinh trường chuyên phải xếp hàng. Biết rằng trong hàng có m + n bạn, trong đó m bạn cầm tờ 50000 đồng và n bạn cầm tờ 100000 đồng. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng để không bạn nào phải chờ tiền trả lại, giả thiết rằng ban đầu ban tổ chức không cầm theo đồng tiền nào.

• Bài toán hình học:

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường cao AD, trực tâm H. Đường tròn đường kính AH cắt (O) tại điểm Q khác A. Đường tròn đường kính HQ cắt (O) tại điểm K khác Q. Gọi M là trung điểm BC.
a) Đường thẳng qua H vuông góc với MH cắt BC tại X. Chứng minh rằng XK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KDM.
b) Đường thẳng KQ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác KDM tại N khác K. Chứng minh rằng MN chia đôi AQ.

• Bài toán dãy số:

Cho số thực a và dãy số (un) xác định bởi a1 = a, un+1 = un^2 + un + a^3 (n >= 1).
a) Chứng minh rằng, với dãy a thuộc [-1/2;0], dãy số hội tụ và tìm giới hạn đó.
b) Cho a = 2020. Chứng minh rằng un^2 + 2020^3 luôn có ít nhất n + 4 ước số nguyên tố khác nhau.