Đề thi học sinh giỏi Toán 7 năm 2017-2018 phòng GD&ĐT TP Thái Nguyên

Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm học 2017 - 2018

Phòng Giáo dục và Đào tạo thành phố Thái Nguyên

(Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4.0 điểm)

1. Tìm x, biết: a) $|x - 1| + |x + 3| = 4$ b) $|x^2 + | x - 1|| = x^2 + 2$
2. Cho $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{2a - 3b}{?} $. Biết m, n, a, b đều khác 0. Hãy điền biểu thức thích hợp vào chỗ có dấu "?".

Câu 2: (4.0 điểm)

1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: $5x^2 + y^2 - 2xy - 4x + 2 = 0$.
2. Cho đa thức $P(x) = ax^2 + bx + c$ thỏa mãn $P(x) \equiv 0 (mod 3)$ với mọi x nguyên. Chứng minh a, b, c đều chia hết cho 3.

Câu 3: (4.0 điểm)

1. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn $a^2 + 2b^2 + 2ab - 4a + 2b - 8 = 0$. Chứng minh rằng a là số chính phương.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD (D thuộc AC). Vẽ DH vuông góc với BC (H thuộc BC). Gọi K là giao điểm của BA và HD. Chứng minh rằng: a) AD = HD. b) BD vuông góc với KC. c) $\angle DKC = \angle DCK$.

Câu 4: (2.0 điểm) Cho $x, y > 0$ thỏa mãn $x + y \le 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{1}{x^2 + y^2} + \frac{2}{xy} + 4xy$.

----- Hết -----

Ghi chú:

• Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
• Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.