Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2019 - 2020 sở GD&ĐT Quảng Nam
Vào ngày 10 tháng 06 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Nam đã tổ chức kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 hệ THPT cấp tỉnh cho năm học 2019 - 2020.
Đề thi được biên soạn theo hình thức trắc nghiệm, gồm 06 trang với 40 câu hỏi và bài toán. Thí sinh có 90 phút để hoàn thành bài thi (không kể thời gian phát đề). Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2019 - 2020 sở GD&ĐT Quảng Nam có đáp án và lời giải chi tiết kèm theo.
Dưới đây là một số trích dẫn từ đề thi:
Bài toán về hình học không gian: Cắt tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 (độ dày không đáng kể) theo đường gấp khúc SAQCPBS như hình 1, sau đó gấp phần đa giác còn lại theo các đoạn AB, BC, CA sao cho các điểm S, P, Q trùng nhau để được hình chóp đều có đáy là tam giác ABC như hình 2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp SABC.
Bài toán về phương trình mặt phẳng: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A, B lần lượt thay đổi trên các tia Ox, Oy sao cho OA.OB = 9. Điểm S thuộc mặt phẳng (Ozx) sao cho hai mặt phẳng (SAB) và (SOB) cùng tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 30 độ. Gọi (a;0;c) là tọa độ điểm S. Tính giá trị của biểu thức P = a^4 + c^4 trong trường hợp thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất.
Bài toán về ứng dụng của tích phân: Đồ thị (C) của hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + 3a và đồ thị (C’) của hàm số y = 3ax^2 + 2bx + c (a, b, c thuộc R và a > 0) có đúng hai điểm chung khác nhau A, B và điểm A có hoành độ bằng 1. Các tiếp tuyến của (C) và (C’) tại điểm A trùng nhau; diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (C’) bằng 1. Tính giá trị của a + b + c.
