Đề thi học sinh giỏi Toán 12 chuyên năm 2023 - 2024 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Đề thi học sinh giỏi Toán 12 chuyên năm 2023 - 2024 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 12 THPT chuyên năm học 2023 – 2024 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc.

Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 12 chuyên năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc:

• Bài 1: Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1. Kí hiệu G(n) là ước nguyên tố lớn nhất của n.
  • a) Chứng minh rằng nếu n + 1 là lũy thừa của 2 và n chia hết cho 11 thì G(n) > 11.
  • b) Hai số nguyên tố phân biệt p, q được gọi là xa lạ nếu không tồn tại số nguyên dương n lớn hơn 1 để hai tập hợp {p;q} và {G(n);G(n + 1)} trùng nhau. Chứng minh rằng nếu p < q là hai số nguyên tố lẻ sao cho ordp2 = ordq2 thì 2 và p là hai số xa lạ và có vô hạn cặp số nguyên tố (p;9) sao cho p < q và hai số p và q là xa lạ.
• Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn và cân tại đỉnh A. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của CB và CA, M là trung điểm của DE. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt cạnh AB tại điểm N. Tiếp tuyến tại M và N của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt nhau tại P.
  • a) Đường thẳng AM cắt tiếp tuyến tại E của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM ở điểm Q. Chứng minh rằng P, D, Q thẳng hàng.
  • b) Chứng minh rằng điểm P nằm trên đường thẳng BC.
• Bài 3: Cho số nguyên dương n > 1, số nguyên dương k được gọi là n-good nếu với mọi cách tô màu mỗi số nguyên dương 1; 2; …; k bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ thì ta luôn chọn được n số cùng màu (không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng của n số này cũng nằm trong tập hợp {1; 2; …; k} và cùng màu với n số vừa chọn.
  • a) Tìm số 2-good nhỏ nhất.
  • b) Tìm số 2024-good nhỏ nhất.