Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 - 2021 sở GD&ĐT Đồng Tháp

Trích dẫn đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 - 2021 sở GD&ĐT Đồng Tháp:

• Bài toán về hình học không gian: Từ một tấm tôn hình quạt OAB có góc AOB bằng 120 độ, người ta xác định hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB rồi cắt tấm tôn theo hình chữ nhật MNPQ (như hình vẽ). Dùng hình chữ nhật đó tạo thành mặt xung quanh của một hình trụ với đường sinh MQ, NP trùng khít nhau. Hỏi khối trụ tương ứng được tạo thành có thể tích là bao nhiêu?

• Bài toán về phương trình mặt phẳng: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ a(1;-1;0) và hai điểm A(−4;7;3), B(4;4;5). Hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MN cùng hướng vectơ a và MN = 5√2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức |AM – BN|.

• Bài toán về phương trình mặt cầu: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;2), B(-1;0;4), C(0;-1;3) và điểm M thuộc mặt cầu (S): x² + y² + (z – 1)² = 1. Tìm độ dài đoạn AM biết biểu thức MA² + MB² + MC² đạt giá trị nhỏ nhất.