Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán THPT Quảng Nam 2024 - 2025 - Đợt 1
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THPT Quảng Nam năm học 2024 - 2025 - Đợt 1
MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT năm học 2024 – 2025, đợt 1 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Nam. Kỳ thi được diễn ra vào thứ Sáu, ngày 04 tháng 10 năm 2024.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán THPT Quảng Nam 2024 - 2025 - Đợt 1:
Bài 1: Cho a là số tự nhiên thỏa mãn a + 1 và 2a + 1 đều là các số chính phương. Chứng minh a chia hết cho 24.
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H.
a) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K, I là trung điểm của AH, L là trung điểm của AB, IF cắt CK tại T. Đường thẳng qua T và vuông góc với OH cắt BK tại S. Chứng minh AL.BH = AO.BD và ba điểm S, I, E thẳng hàng.
b) Lấy hai điểm M, N trên cạnh BC sao cho BM = CN (M nằm giữa B và N). Đường thẳng BE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BFM tại điểm thứ hai là P, đường thẳng CF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CEN tại điểm thứ hai là Q. Chứng minh ba đường thẳng AO, PF, QE đồng quy.
Bài 3: Cho đa giác lồi T có diện tích bằng 5400 (đvdt) và một đường thẳng l tùy ý. Chứng minh tồn tại một tam giác có các đỉnh nằm trên các cạnh của T và có một cạnh song song với l mà diện tích của nó không nhỏ hơn 2025 (dvdt).
