Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 chuyên năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế

Đề thi gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, thời gian làm bài 180 phút.

Dưới đây là trích dẫn một số bài toán trong đề thi:

Bài 1: Với p là số nguyên dương, đặt S(p).

• a) Chứng minh S(7) không chia hết cho 7.
• b) Tìm tất cả các số nguyên tố p (p < 2022) sao cho S(p) không chia hết cho p.

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh BC, CA, AB. Các điểm X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng MN, CI. Gọi L là điểm chính giữa của cung BC chứa điểm A của đường tròn (O).

• a) Chứng minh các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy.
• b) Chứng minh BY CY và Y nằm trên đường thẳng MP.
• c) Chứng minh đường thẳng LI đi qua trung điểm của đoạn XY.

Bài 3: Một hình chữ nhật gồm hai ô vuông đơn vị kích thước 2×1 hoặc 1×2 được gọi là một domino. Một mô hình là một cách đặt các domino lên một bảng vuông nxn (n nguyên dương) ô vuông đơn vị sao cho mỗi domino phủ đúng 2 ô của bảng và không có một ô nào được phủ bởi 2 domino khác nhau (tức là các domino không xếp chồng lên nhau). Ta gọi một domino là “liên quan” đến một hàng (hoặc một cột) nếu nó phủ ít nhất một ô của hàng (hoặc cột) đó. Gọi trị số của một hàng (hoặc một cột) là số các domino “liên quan” đến hàng (hoặc cột) đó. Một mô hình được gọi là cân bằng nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho mỗi hàng và mỗi cột của nó đều có trị số là k. Chẳng hạn tồn tại mô hình cân bằng cho bảng 3×3 với k = 1 (xem mô hình như hình bên).

• a) Chứng minh rằng tồn tại các mô hình cân bằng với n.
• b) Tồn tại mô hình cân bằng với n = 2021 hay không? Nếu có, hãy tìm số domino ít nhất cần thiết để có thể thiết lập được mô hình cân bằng cho bảng đó.