Đề thi học sinh giỏi thành phố Toán 12 năm 2023 - 2024 sở GD&ĐT Hà Nội

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán 12 THPT năm học 2023 – 2024 sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hà Nội; kỳ thi được diễn ra vào ngày 30 tháng 09 năm 2023.

Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi thành phố Toán 12 năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Hà Nội:

• Bài 1: Cho hàm số y = 2x³ – 3(2m – 1)x² – 12mx có đồ thị (Cm) với m là tham số thực.
  • 1. Khi m = 1, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt M và N sao cho ON = 24OM.
  • 2. Tìm tất cả các giá trị của m để (Cm) có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục hoành.
• Bài 2: Xét tập hợp S gồm tất cả các bộ số (x;y;z) với x, y, z là các số nguyên dương không lớn hơn 30.
  • 1. Hỏi có bao nhiêu bộ số (x;y;z) thuộc tập hợp S thỏa mãn x + y + z = 5?
  • 2. Lấy ngẫu nhiên một bộ số (a;b;c) từ tập hợp S. Tính xác suất để lấy được bộ số thỏa mãn a + b + c < 30.
• Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), biết SA = 3 và tam giác SBC là tam giác đều có cạnh bằng 4.
  • 1. Tính số đo của góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC).
  • 2. Cho điểm I xác định bởi 2IA + 3IB + 4IC = 0. Xét mặt phẳng (α) thay đổi đi qua trung điểm của đoạn thẳng SI và cắt các tia SA, SB, SC lần lượt tại các điểm M, N, P (với M, N, P không trùng với S). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 4/SM² + 9/SN² + 16/SP².