Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh Ninh Bình năm học 2019 - 2020
Ngày 11/09/2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán bậc THPT cho năm học 2019 - 2020. Đề thi gồm 01 trang với 04 bài toán dạng tự luận, thời gian làm bài là 180 phút.
Dưới đây là một số nội dung chi tiết trong đề thi:
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD (D thuộc BC) và hai điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC. Điểm P chuyển động trên đoạn thẳng MN. Lấy các điểm E, F sao cho EP ⊥ AC, EC ⊥ BC, FP ⊥ AB, FB ⊥ BC.
a) Gọi I là giao của EF và AD. Chứng minh rằng I cố định khi P chuyển động trên đoạn MN.
b) Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.
Bài 2: Cho số nguyên dương n và tập hợp S = {1;2 … n}. Tìm số các tập con của S không chứa hai số nguyên dương liên tiếp.
Bài 3: Xét phương trình: x^n = x^2 + x + 1, n thuộc N, n > 2.
a) Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n lớn hơn 2 phương trình trên có đúng một nghiệm dương duy nhất.
b) Gọi xn là nghiệm dương duy nhất của phương trình trên. Tính lim xn.
