Đề thi chọn HSG Toán Quốc gia 2020-2021 Sở GD&ĐT Kiên Giang

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia năm học 2020-2021 của Sở GD&ĐT Kiên Giang

Vào ngày 29 tháng 9 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Kiên Giang đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi môn Toán cấp Quốc gia năm học 2020 – 2021.

Đề thi chọn đội tuyển gồm 01 trang với 04 bài toán tự luận, thời gian làm bài là 180 phút (không kể thời gian phát đề).

Dưới đây là một số nội dung được trích dẫn từ đề thi:

Bài 1: Cho đường tròn (C1) và điểm B thuộc (C1). Điểm A khác B sao cho đường thẳng AB là tiếp tuyến của (C1). Điểm C không thuộc (C1) sao cho đoạn thẳng AC cắt (C1) tại hai điểm phân biệt. Gọi (C2) là đường tròn tiếp xúc với AC tại C và tiếp xúc với (C1) tại D (điểm B và D ở khác phía so với bờ AC). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và delta là tiếp tuyến chung của (C1), (C2) tại D.
a) Chứng minh rằng điểm I cách đều hai đường thẳng AB và delta.
b) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 2: Trên tập hợp các số nguyên không âm, xét phương trình: x^2 + 2.3^y = x(2^(y + 1) – 1) (1).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (x;y) thỏa mãn (1) mà y =< 5.
b) Chứng minh rằng không tồn tại cặp số nguyên không âm (x;y) với y >= 6 thỏa mãn phương trình (1).

Bài 3: Tìm tất cả các hàm số liên tục f: R → R sao cho: 8f(4x) – 10f(2x) + 3f(x) = 30x với mọi x thuộc R.