Đề thi chọn HSG Toán 12 chuyên năm học 2018 - 2019 sở GD&ĐT Đồng Nai
Kỳ thi chọn Học sinh giỏi (HSG) Toán 12 chuyên năm học 2018 - 2019 do Sở Giáo dục và Đào tạo (GD&ĐT) Đồng Nai tổ chức đã diễn ra vào ngày 18 tháng 01 năm 2019. Đề thi gồm 01 trang với 05 bài toán tự luận, thời gian làm bài 180 phút.
Mục tiêu của kỳ thi là tuyển chọn những học sinh giỏi Toán đang theo học hệ chương trình chuyên tại tỉnh Đồng Nai để tuyên dương, khen thưởng. Đồng thời, kỳ thi cũng là cơ sở để thành lập đội tuyển học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai tham dự kỳ thi học sinh giỏi Toán chuyên cấp Quốc gia.
Dưới đây là trích dẫn một số bài toán trong đề thi chọn HSG Toán 12 chuyên năm học 2018 - 2019 sở GD&ĐT Đồng Nai:
Bài 1: Cho m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 4m^3 + m = 12n^3 + n. Chứng minh rằng m – n là lập phương của một số nguyên.
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H, K là trung điểm BC và G là hình chiếu vuông góc của H trên AK. Lấy D đối xứng G qua BC và I đối xứng C qua D. Tia phân giác góc ACB cắt AB tại F và tia phân giác góc BID cắt BD ở M, MF cắt AC tại E.
- Chứng minh rằng D nằm trên đường tròn (O).
- Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC ở X, XE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác EBM ở điểm thứ hai là Y. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác EYD tiếp xúc đường tròn (O).
