Đề thi chọn HSG thành phố môn Toán năm 2022 - 2023 sở GD&ĐT Hải Phòng

Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán lớp 12 năm 2022 - 2023

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố và chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hải Phòng; kỳ thi được diễn ra vào thứ Ba ngày 20 tháng 09 năm 2022.

Trích dẫn đề chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hải Phòng:

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn, AB < BC < CA, trọng tâm G, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H (D, E, F lần lượt nằm trên BC, CA, AB).

a) Đường tròn (BHC) cắt đường tròn đường kính AH tại T khác H. Chứng minh rằng A, T, G thẳng hàng.
b) Các điểm I, J, K lần lượt trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho HI, HJ, HK tương ứng vuông góc với AG, BG, CG. Chứng minh rằng các đường tròn (AGD), (BGE), (CGF) cùng đi qua một điểm L khác G và I, J, K, L thẳng hàng.

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình (x² + 2y²)² – 2(z² + 2t²)² = 1 có vô hạn nghiệm tự nhiên.

Bài 3: Xâu tam phân độ dài n có dạng X = a₁a₂…aₙ với aₖ thuộc {0;1;2} với mọi k = 1..n. Một xâu con liên tiếp bằng nhau cực đại của X có dạng Y = aᵢaᵢ₊₁…aⱼ với 1 ≤ i ≤ j ≤ n mà aᵢ = aᵢ₊₁ = … = aⱼ, ngoài ra aᵢ₋₁ khác aᵢ (nếu i >= 2) và aⱼ khác aⱼ₊₁ (nếu j ≤ n – 1). Ví dụ xâu 1000211 có các câu con liên tiếp bằng nhau cực đại là 1, 000, 2 và 11.

a) Gọi Aₙ là tập tất cả các xâu tam phân độ dài n mà các xâu con liên tiếp bằng nhau cực đại đều có độ dài lẻ. Chứng minh rằng |A₂₀₂₃| = 2|A₂₀₂₂| + |A₂₀₂₁|.
b) Gọi Bₙ là tập tất cả các câu tam phân độ dài n mà 0 và 2 không bao giờ đứng cạnh nhau. Chúng minh rằng |B₂₀₂₃| = |A₂₀₂₃| + |A₂₀₂₂|/3.