Đề thi chọn HSG Quốc gia môn Toán 2018 có lời giải - Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia THPT 2018 môn Toán của Sở GD&ĐT Bắc Ninh bao gồm 5 bài toán tự luận, thời gian làm bài 180 phút. Điểm đặc biệt của đề thi này là có lời giải chi tiết và thang điểm cho từng câu, giúp học sinh dễ dàng phân tích và rút kinh nghiệm.

Dưới đây là trích dẫn một số câu trong đề thi:

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có trực tâm H. Gọi M, N, P là trung điểm của BC, CA, AB. Đường tròn đường kính AH và đường tròn (O) cắt nhau tại T ≠ A. AT cắt BC tại Q. NP cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại R.

a) Chứng minh rằng QR vuông góc OH. b) Đường thẳng đối xứng với HM qua phân giác trong góc BHC cắt đoạn thẳng BC tại I. Gọi K là hình chiếu của A trên HI. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MIK tiếp xúc với đường tròn (O).

Bài 2: Cho S là tập gồm 2017 số nguyên tố phân biệt và M là tập gồm 2018 số tự nhiên phân biệt sao cho mỗi số trong M đều không là số chính phương và chỉ có ước nguyên tố thuộc S. Chứng minh rằng có thể chọn ra trong M một số số có tích là một số chính phương.

Bài 3: Có 32 học sinh tham gia 33 câu lạc bộ, mỗi học sinh có thể tham gia nhiều câu lạc bộ và mỗi câu lạc bộ có đúng 3 học sinh tham gia. Biết rằng không có 2 câu lạc bộ nào có 3 học sinh giống nhau. Chứng minh rằng có 2 câu lạc bộ chung nhau đúng 1 học sinh.

Đề thi được đánh giá là có tính phân loại cao, đòi hỏi học sinh cần có kiến thức vững chắc, kỹ năng tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề tốt. Đây là tài liệu hữu ích cho các em học sinh đang ôn thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán.