Đề thi chọn HSG Quốc gia 2018 môn Toán - Sở GD&ĐT Quảng Ngãi (Ngày 2)
Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2018 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ngãi (Ngày thi thứ hai)
Thời gian làm bài: 180 phút
Hình thức: Tự luận
Số lượng bài: 03
Lưu ý: Đề thi có lời giải chi tiết và thang điểm cho từng bài.
Nội dung đề thi:
Bài 1: Trên một đường thẳng có 20 điểm P1, P2, … P20 được sắp theo thứ tự đó, mỗi điểm sẽ được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu để cho nếu số các điểm liền kề được tô màu giống nhau thì luôn là một số lẻ?
Bài 2: Cho P(x) là một đa thức hệ số nguyên và năm số nguyên phân biệt x1, x2, x3, x4, x5 thỏa điều kiện P(xi) = 5 với i = 1, 2, 3, 4, 5. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n nào để -6 ≤ P(n) ≤ 4 hoặc 6 ≤ P(n) ≤ 16.
Bài 3: Cho x1, x2, … xk; y1, y2, … yn là các số nguyên phân biệt (với k, n ∈ Z*) sao cho tồn tại đa thức hệ số nguyên P(x) thỏa điều kiện:
P(x1) = P(x2) = …. = P(xk) = 58 và P(y1) = P(y2) = …. = P(yn) = 2017
Xác định giá trị lớn nhất của kn.
