Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2022 - 2023 sở GD&ĐT Hà Nam

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 và thành lập đội tuyển tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 - 2023 sở Giáo dục và Đào tạo UBND tỉnh Hà Nam.

Trích dẫn đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2022 - 2023 sở GD&ĐT Hà Nam:

• Bài 1: Cho tam giác ABC có AB < AC và đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Phân giác trong của góc BAC cắt các đường thẳng DE, DF lần lượt tại X, Y. Gọi S, T là các điểm nằm trên cạnh BC sao cho XSY = XTY = 90°.
  1. Chứng minh rằng BX, CY là các tiếp tuyến của đường tròn đường kính XY.
  2. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AST tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
• Bài 2: Xét các số a, b, c nguyên, c >= 0 thỏa mãn a^n + 2^n là ước của b^n + c với mọi n nguyên dương.
  1. Chứng minh rằng c = 0 hoặc c = 1.
  2. Khi c = 1, chứng minh rằng a và b không đồng thời là các số chính phương.
• Bài 3: Với mỗi số tự nhiên n >= 4, ký hiệu a_n là số nhỏ nhất các tập con có 3 phần tử của tập hợp S_n = {1; 2; 3; …; n} sao cho với mọi tập con có 4 phần tử của S_n luôn chứa ít nhất một trong các tập con có 3 phần tử này.
  1. Xác định a_6.
  2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >= 4 thì a_n >= 1/4.nC3.