Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2021 - 2022 sở GD&ĐT Quảng Trị
Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2021 - 2022 tại Quảng Trị
Vào ngày 05 tháng 11 năm 2021, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Trị đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán, đồng thời tuyển chọn đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2021 - 2022.
Đề thi được cấu trúc gồm 02 vòng thi:
- Vòng 1: Gồm 04 câu hỏi tự luận, thời gian làm bài 180 phút.
- Vòng 2: Gồm 04 câu hỏi tự luận, thời gian làm bài 180 phút.
Trích dẫn một số câu hỏi trong đề thi:
Câu 1: Với mỗi số nguyên dương n, xét phương trình nghiệm nguyên 3x² – y² = 23^n. Chứng minh rằng:
- a) Nếu n là số chẵn thì phương trình trên vô nghiệm.
- b) Nếu n là số lẻ thì phương trình trên có nghiệm.
Câu 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các điểm D, E thuộc đường thẳng BC sao cho AD vuông góc OB và AE vuông góc OC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB; G là giao điểm của EM và DN; S là giao điểm của OG và BC. Chứng minh rằng:
- a) Tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCA.
- b) Đường thẳng SA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Câu 3: Trong một giải đấu bóng bàn nam có n (n >= 3) vận động viên tham gia, hai vận động viên bất kỳ thi đấu với nhau đúng 1 trận (không có kết quả hòa). Kết thúc giải đấu, mỗi vận động viên sẽ viết ra tên những đối thủ thua mình và tên những vận động viên thua một trong các đối thủ đó. Một vận động viên được gọi là vô địch tương đối nếu anh ta viết được tên của tất cả n – 1 vận động viên còn lại. Gọi Sn là số vận động viên vô địch tương đối nhiều nhất có thể.
- a) Tính S3, S4.
- b) Chứng minh rằng Sn = n với mọi n >= 5.
