Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 - 2025

Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 - 2025

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 25/12/2024 và 26/12/2024. Đề thi có đáp án và lời giải chi tiết.

Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025:

Bài 1: Cho một bảng ô vuông 3k × 3k (k là số nguyên dương), các ô của bảng được đánh tọa độ theo cột và hàng: ô (i; j) nằm trên cột thứ i từ trái qua phải và trên hàng thứ j từ dưới lên trên. Người ta muốn đặt 4k viên bi vào các ô của bảng, mỗi ô có không quá một viên, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

• Mỗi hàng và mỗi cột đều có ít nhất một viên bi.
• Mỗi viên bi nằm cùng hàng hoặc cùng cột với ít nhất một viên bi khác.

a) Xét k = 1. Có bao nhiêu cách đặt 4 viên bi vào bảng thỏa mãn các điều kiện trên? (Hai cách đặt bi được coi là khác nhau nếu có một ô (i; j) có bi trong một cách đặt nhưng không có bi trong cách còn lại).

b) Xét k > 1 tổng quát. Xác định số tự nhiên N lớn nhất sao cho với mọi cách đánh dấu N ô phân biệt trên bảng, luôn tồn tại một cách đặt 4k viên bi thỏa mãn các điều kiện trên mà không có viên bi nào đặt ở một trong N ô đã được đánh dấu.

Bài 2: Xét đa thức P(x) = x⁴ − x³ + x.

a) Chứng minh rằng với mọi số dương a, đa thức P(x) − a có duy nhất một nghiệm dương.

b) Xét dãy số (an) được xác định bởi a1 = 1/3 và với mọi n > 1, an+1 là nghiệm dương của đa thức P(x) − an. Chứng minh rằng dãy (an) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 3: Với mỗi số nguyên n > 0, đặt un = (2 + √5)^n + (2 − √5)^n.

a) Chứng minh rằng un là số nguyên dương với mọi n > 0. Khi n thay đổi, số dư của un khi chia cho 24 lớn nhất bằng bao nhiêu?

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) với a, b nhỏ hơn 500 sao cho với mọi n lẻ ta có un ≡ an − bn (mod 1111).