Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 - 2021

MeToan.Com trân trọng giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 – 2021. Đề thi năm nay bao gồm 02 bài thi, mỗi bài thi gồm nhiều câu hỏi tự luận với thời gian làm bài là 180 phút. Kỳ thi được diễn ra trong hai ngày: Ngày 1 (25/12/2020) và Ngày 2 (26/12/2020).

Dưới đây là một số trích dẫn từ đề thi:

Bài 1:

• Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào).
  • a) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hai cách chia là khác nhau)?
  • b) Sau khi chia, học sinh này sơn 30 viên bi đó bởi một số màu (mỗi viên được sơn đúng một màu, một màu có thể sơn cho nhiều viên bi), sao cho không có 2 viên bi nào trong cùng một hộp có màu giống nhau và từ 2 hộp bất kì không thể chọn ra được 8 viên bi được sơn bởi 4 màu. Chứng minh rằng với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn 10 màu để sơn bi.
  • c) Hãy chỉ ra một cách chia sao cho với đúng 10 màu học sinh có thể sơn bi thỏa mãn các điều kiện ở câu b.

Bài 2:

• Cho tam giác nhọn không cân ABC có trực tâm H và D, E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. Gọi (1) là đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF với tâm I và K, J lần lượt là trung điểm BC, EF. Cho HJ cắt lại (I) tại G, GK cắt lại (I) tại L.
  • a) Chứng minh rằng AD vuông góc với EF.
  • b) Cho AD cắt EF tại M, IM cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF tại N, DN cắt AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng PE, QF, AK đồng quy.

Hy vọng với phần trích dẫn đề thi trên sẽ giúp các em học sinh có thêm tài liệu ôn tập, chuẩn bị thật tốt cho kỳ thi sắp tới.