Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2021 Sở GD&ĐT Lâm Đồng
Ngày 11 tháng 09 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lâm Đồng tổ chức kỳ thi chọn học sinh vào đội tuyển bồi dưỡng thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 – 2021.
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2021 Sở GD&ĐT Lâm Đồng gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, thời gian học sinh làm bài thi là 180 phút.
Dưới đây là một số nội dung của đề thi:
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là hình chiếu của A lên BC và D, E, M lần lượt là trung điểm HB, HC, BC. Đường tròn (ABE) tâm I cắt AC tại S và đường tròn (ACD) tâm J cắt AB tại R.
a) Chứng minh rằng BC = 4IJ.
b) Trung tuyến đỉnh H của tam giác AHM cắt RS tại T, chứng minh rằng các đường thẳng AT, BS, CR đồng quy.
Bài 2: Cho số a = 2019.2020.2021 và số nguyên dương n >= 3. Người ta xếp n số nguyên dương nào đó lên một đường tròn thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
(i) Hai số nằm cạnh nhau có tích không chia hết cho a.
(ii) Hai số không nằm cạnh nhau có tích chia hết cho a.
a) Tìm một bộ các số nguyên dương thỏa mãn cách xếp trên.
b) Tìm giá trị lớn nhất của n.
Bài 3: Cho tập S = {1; 2; …; n} với n là số nguyên dương. Gọi An là tập hợp các hoán vị (a1; a2; …; an) của tập S thỏa mãn điều kiện 2(a1 + a2 + … + ak) chia hết cho k với mọi k = 1; 2; …; n.
a) Chứng minh rằng an – 1 chia hết cho n – 1 khi n chẵn và n > 3.
b) Tìm số phần tử của A2020.
