Đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018 - 2019 sở GD&ĐT Phú Thọ
Đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán lớp 12 năm học 2018 - 2019 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Thọ được tổ chức trong hai ngày 14/09/2018 và 15/09/2018. Kỳ thi gồm hai đề thi, mỗi đề thi có thời gian làm bài là 180 phút.
Nội dung đề thi:
Mỗi ngày thi, thí sinh sẽ làm bài thi gồm các bài toán thuộc chương trình Toán lớp 12, bao gồm các chủ đề chính như:
- Đại số: Hàm số, phương trình và bất phương trình, dãy số, tổ hợp, xác suất,...
- Hình học: Hình học phẳng, hình học không gian, hình học giải tích,...
Trích dẫn một số bài toán trong đề thi:
Bài toán hình học: Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác APB, CPD cắt cạnh BC theo thứ tự tại E, F. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABE, CDF, hai đoạn thẳng BJ và CI cắt nhau tại Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB cắt đoạn thẳng BD tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DJC cắt đoạn thẳng AC tại N. Chứng minh BIJC là tứ giác nội tiếp. Chứng minh ba đường thẳng IM, JN, PQ đồng quy.
Bài toán số học:
- Chứng minh rằng: Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp là hợp số.
- Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2 số nguyên tố.
Bài toán tổ hợp: Một bảng ô vuông ABCD kích thước 2018 x 2018 gồm 2018^2 ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số -1, 0,1. Một cách điền số được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo AC được điền số -1 và mỗi cặp ô đối xứng qua AC được điền cùng một số 0 hoặc 1. Chứng minh rằng với một cách điền số đối xứng bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là a1, a2, …, a2018 ở hàng thứ nhất, b1, b2, …, b2018 ở hàng thứ hai sao cho S = a1b1 + a2b2 + … + a2018b2018 là một số chẵn.
Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018 - 2019 của Sở GD&ĐT Phú Thọ là một tài liệu hữu ích cho các em học sinh lớp 12 ôn tập, củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán, đồng thời là tài liệu tham khảo cho các thầy cô giáo trong việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi.
