Đề Khảo Sát Chọn Đội Tuyển HSG Toán 2025 - 2026 Trường THPT Chuyên Lào Cai

Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi (HSG) quốc gia luôn là một trong những thử thách lớn nhất đối với học sinh các trường THPT Chuyên trên cả nước. Nhằm tuyển chọn những gương mặt xuất sắc nhất đại diện cho tỉnh, trường THPT Chuyên Lào Cai đã tổ chức kỳ khảo sát chất lượng đội tuyển môn Toán cho năm học 2025 - 2026. Kỳ thi được diễn ra trong hai ngày 26 và 27 tháng 08 năm 2025.

Đề thi được đánh giá có cấu trúc quen thuộc của một đề chọn đội tuyển, bao gồm các bài toán chuyên sâu ở nhiều lĩnh vực như Hình học phẳng, Số học và Tổ hợp. Các bài toán đòi hỏi học sinh không chỉ có kiến thức nền tảng vững chắc mà còn phải có tư duy sáng tạo, khả năng phân tích và tổng hợp vấn đề. Đây là một tài liệu tham khảo chất lượng cao dành cho các em học sinh đang trong quá trình ôn luyện cho các kỳ thi HSG các cấp, đặc biệt là kỳ thi VMO.

Dưới đây là trích dẫn một số bài toán tiêu biểu có trong đề thi chính thức:

Bài toán 1 (Hình học phẳng): Cho tam giác ABC nhọn không cân (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các đường kính AA’, BB’, CC’ của (O) và giả sử AB’, AC’ lần lượt cắt A’C, A’B tại M, N. Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC và các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E, F.

a) Chứng minh rằng AD là tiếp tuyến của (O).

b) Dựng các điểm X, Y trên đoạn thẳng BC sao cho EX // AC, FY // AB. Các đường thẳng EX và FY cắt nhau tại T. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác XYT tiếp xúc với đường tròn (O).

Bài toán 2 (Tổ hợp): Một tập hợp con S ⊂ {1; 2; …; n} được gọi là tập tốt nếu với mọi x thuộc S thì ít nhất một trong hai số x – 1 hoặc x + 1 cũng thuộc S.

a) Chứng minh rằng một tập con S ⊂ {1; 2; …; n} với n ≥ 5, gồm 5 phần tử là tập tốt khi và chỉ khi nó có dạng S = A ∪ B, với A ∩ B = Ø, trong đó A gồm 3 số nguyên liên tiếp và B gồm hai số nguyên liên tiếp.

b) Chứng minh rằng số tập con S (S là tập tốt) gồm 5 phần tử của {1; 2; …; n} với n ≥ 5 là một số chính phương.

Bài toán 3 (Hình học phẳng): Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O) có trọng tâm G, trực tâm H và các đường cao AD, BE, CF. Các tia GD, GE, GF cắt đường tròn (O) tại X, Y, Z. Gọi X’, Y’, Z’ lần lượt là đối xứng của X, Y, Z qua trung điểm các cạnh BC, CA, АВ của tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng HX’, HY’, HZ’ lần lượt cắt BC, CA, AB tại ba điểm nằm trên một đường thẳng vuông góc với OH.

b) Chứng minh rằng AX’, BY’, CZ’ đồng quy.