Đề chọn HSG Toán 12 cấp trường năm 2019 – 2020 THPT chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương
Đề thi HSG Toán 12 năm 2019 – 2020 trường THPT chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương
Ngày 07 tháng 09 năm 2019, trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, tỉnh Hải Dương đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp trường cho năm học 2019 – 2020.
Đề thi HSG Toán 12 cấp trường năm học 2019 – 2020 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương gồm 01 trang với 06 bài toán tự luận. Thí sinh có 180 phút để hoàn thành bài thi.
Dưới đây là một số bài toán tiêu biểu trong đề thi:
Bài toán 1: Điền vào mỗi ô của bảng vuông 7 x 7 các số tự nhiên từ 1 đến 49 như hình vẽ. Mỗi lần, được phép chọn 1 ô của bảng và đồng thời tăng số trong ô đó thêm 1 rồi giảm mỗi số trong hai ô nào đó kề với nó đi 1, hoặc giảm số trong ô đó đi 1 và tăng mỗi số trong hai ô kề với nó thêm 1 (hai ô kề nhau là hai ô chung cạnh). Hỏi có thể đưa tất cả các số trong bảng về bằng nhau sau một số hữu hạn bước được hay không?
Bài toán 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn (K) qua B và C cắt các đoạn thẳng CA và AB lần lượt tại E và F. Gọi BE cắt CF tại H. M là trung điểm BC và tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt nhau tại I. Gọi S là hình chiếu của A trên IH và D là giao của IH với BC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác SMD tiếp xúc với đường tròn (O).
Bài toán 3: Cho dãy số (an) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 3an+1 ≥ an và 6an+1 + an-1 ≤ 5an với mọi n ≥ 2 và n thuộc N. Chứng minh rằng dãy (an) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp trường năm 2019 – 2020 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tham khảo và rút kinh nghiệm cho bản thân.
