Đề chọn đội tuyển Toán năm 2024 - 2025 trường Phổ thông Năng khiếu - TP HCM

Đề chọn đội tuyển Toán 2024 - 2025 trường Phổ thông Năng khiếu - TP HCM

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán năm học 2024 - 2025 trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 20 và 21 tháng 09 năm 2024.

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển Toán năm 2024 - 2025 trường Phổ thông Năng khiếu - TP HCM:

• Bài 1: Cho đa thức P(x) = x⁴ – ax³ + 6x² – bx + c với a, b, c là các tham số thực. Biết rằng P(x) có 4 nghiệm thực không âm. Chứng minh 3a ≥ b + 8.
• Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Lấy P là điểm thay đổi nằm trong tam giác ADC sao cho ∠CDP = ∠DAP. DP cắt AC tại điểm I.
  • a) Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp các tam giác PBC và PAI. Chứng minh PK đi qua một điểm cố định.
  • b) Gọi H là giao điểm của AD và BC và (ω) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BHP. Tiếp tuyến tại H của (ω) cắt AC, CD tương ứng tại các điểm N, M. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN tiếp xúc với (ω) và tiếp điểm thuộc một đường tròn cố định.
• Bài 3: Cho số nguyên tố p có dạng 4k + 3, với k là số nguyên dương. Chứng minh rằng có ít nhất (p + 1)/2 số nguyên dương a không vượt quá p, sao cho với mỗi số a tồn tại số nguyên dương m không vượt quá p – 1 để (a + 1)(a² + 1)(a³ + 1)…(aᵐ + 1) – 1 chia hết cho p.