Đề chọn đội tuyển Toán năm 2022 – 2023 trường Phổ thông Năng khiếu – TP HCM

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán năm học 2022 – 2023 trường Phổ thông Năng khiếu, thành phố Hồ Chí Minh; kỳ thi được diễn ra vào thứ Ba ngày 27 tháng 09 năm 2022.

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển Toán năm 2022 – 2023 trường Phổ thông Năng khiếu – TP HCM:

• Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn x > y > 2 và x^y – x = y^x – y.
• Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có B, C cố định (BC không đi qua O), A là điểm thay đổi trên cung lớn BC. Gọi I, M, N là trung điểm của BC, CA và AB. Đường tròn qua M, tiếp xúc BC tại B và đường tròn qua N, tiếp xúc BC tại C lần lượt cắt IM và IN tại E và F. Gọi D là giao điểm của BE, CF.
  • a) Chứng minh AD đi qua một điểm cố định.
  • b) Gọi K là giao điểm của AD với EF. Chứng minh K thuộc một đường tròn cố định.
• Với n nguyên dương, một tập hợp B = {b1, b2 … bn} gồm các số nguyên dương được gọi là “tốt” nếu tồn tại n tập hợp C1, C2 … Cn thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: Với mọi i thuộc {1, 2 … n}, các tập hợp Ci gồm bi số nguyên liên tiếp. Với mọi i thuộc {1, 2 … n}, nếu đặt ai là tổng tất cả các phần tử của Ci thì a1 + a2 + … + an = 0.
  • a) Chứng minh rằng nếu B chứa ít nhất một số lẻ thì B là tập hợp tốt.
  • b) Hỏi có bao nhiêu tập con khác rỗng của {1, 2 … 100} là tập tốt?