Đề chọn đội tuyển thi HSGQG môn Toán năm 2022 - 2023 sở GD&ĐT Quảng Bình

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Bình; đề thi gồm Bài Thi Thứ Nhất và Bài Thi Thứ Hai, có đáp án và lời giải chi tiết; kỳ thi được diễn ra vào ngày 20 tháng 09 năm 2022.

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSGQG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Bình:

• Cho $P(x)$ là đa thức monic bậc $n$ (với $n ∈ ℕ^*$) có đúng $n$ nghiệm thực phân biệt. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $a$ mà $2P(a) + a^4 - 2022 = 0$. Chứng minh rằng đa thức $2P(x) + x^4 - 2022$ chia hết cho đa thức $2x^2$ và $2022 - 4n | P(2)$.
• Cho tam giác $ABC$ có $AB ≠ AC$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $T$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Các đường thẳng $BI$ và $CI$ lần lượt cắt $T$ tại điểm thứ hai là $M$ và $N$. Gọi $D$ là điểm thuộc $T$, nằm trên cung $BC$ không chứa $A$; $E$, $F$ lần lượt là các giao điểm của $AD$ với $BI$ và $CI$; $P$ là giao điểm của $DM$ với $CI$; $Q$ là giao điểm của $DN$ với $BI$.
  • a) Chứng minh rằng các điểm $D$, $I$, $P$, $Q$ cùng nằm trên một đường tròn $Ω$.
  • b) Chứng minh rằng các đường thẳng $CE$ và $BF$ cắt nhau tại một điểm trên đường tròn $Ω$.
• Cho $A$ là tập hợp gồm các số nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
  • a) Nếu $a ∈ A$ thì tất cả các ước số dương của $a$ cũng thuộc $A$.
  • b) Nếu $ab ∈ A$ mà $1 < a < b$ thì $1 + ab ∈ A$. Chứng minh rằng nếu $A$ có ít nhất $3$ phần tử thì $A$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương.