Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 - 2021 Sở GD&ĐT Thái Nguyên

Đề thi chọn đội tuyển HSG Toán Quốc gia 2020-2021 của Sở GD&ĐT Thái Nguyên

Đề thi được biên soạn gồm 01 trang với 05 bài toán tự luận, yêu cầu thí sinh hoàn thành trong thời gian 180 phút.

Dưới đây là một số bài toán tiêu biểu trong đề thi:

• Bài toán 1: Tìm tất cả các hàm số f: R → R thỏa mãn điều kiện: f(x + f(y)) = 4f(x) + f(y) – 3x với mọi x, y thuộc R.
• Bài toán 2: Cho đa thức P(x) = x^2 + ax + b với a, b là các số nguyên. Biết rằng với mọi số nguyên tố p, luôn tồn tại số nguyên k để P(k) và P(k + 1) đều chia hết cho p. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên m để P(m) = P(m + 1) = 0.
• Bài toán 3: Với mỗi số nguyên dương x, kí hiệu s(x) là số chính phương lớn nhất không vượt quá x. Cho dãy số (an) được xác định bởi a1 = p (p là số nguyên dương) và a_(n+1) = 2an – s(an) với mọi n >= 1. Tìm tất cả các số nguyên dương p để dãy số (an) bị chặn.

Các bài toán trong đề thi năm nay được đánh giá là có tính phân loại cao, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy toán học tốt, kiến thức vững vàng và khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để giải quyết bài toán.