Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Ninh Bình

Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 - 2021 của sở GD&ĐT Ninh Bình được diễn ra vào ngày 28 tháng 10 năm 2020. Đề thi gồm 01 trang với 05 bài toán tự luận, thời gian làm bài là 180 phút.

Dưới đây là một số nội dung chi tiết của đề thi:

Bài 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p;q) sao cho p^2 + 3pq + q^2 là một số chính phương.

Bài 2: Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm T cho trước. Một điểm M di động trên (O), tiếp tuyến của (O) tại M cắt d tại P. Gọi (C) là đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với d tại P và I là điểm đối xứng với P qua J.

1. Chứng minh OI = IP và (C) tiếp xúc với một đường tròn cố định.
2. Tìm quỹ tích tâm J của đường tròn (C) khi M di động trên (O).

Bài 3: Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt và m đường thẳng phân biệt. Gọi k là số bộ (A;a) sao cho A thuộc a với A là một trong các điểm đã cho và a là một trong các đường thẳng đã cho.

1. Tìm giá trị lớn nhất của k với n = 6 và m = 5.
2. Với n = 66 và m = 16, chứng minh k =< 159.