Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT TP HCM

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 - 2025 sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 20 và 21 tháng 09 năm 2024. Đáp án và lời giải chi tiết được thực hiện bởi các bạn học sinh lớp 10CT1 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, thành phố Hồ Chí Minh.

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT TP HCM:

• Bài 1: Trong buổi sinh hoạt ngoại khóa, có 100 cái ghế được xếp thành hai hàng tạo thành 50 cặp đối diện nhau. Cô giáo cho 100 em học sinh ngồi vào các ghế, mỗi ghế có đúng một học sinh.
  • a) Giả sử mỗi học sinh chỉ quen với người ngồi bên cạnh hoặc đối diện mình. Hỏi cần chọn ít nhất bao nhiêu em sao cho mỗi em không được chọn thì quen với ít nhất một em được chọn?
  • b) Giả sử có một học sinh nào đó đi ra ngoài và bỏ lại một ghế trống. Cô giáo sẽ chọn một học sinh tùy ý ở hàng không có ghế trống đến ngồi vào ghế đang trống. Cô có thể thực hiện thao tác như thế nhiều lần. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn lần, cô giáo không thể xếp vị trí của các bạn học sinh sao cho em nào cũng ngồi vào chiếc ghế đối diện với chiếc ghế mình ngồi ban đầu.
• Bài 2: Số nguyên dương n được gọi là số “tốt” nếu thỏa mãn đồng thời:
  • i) Với mọi d là ước nguyên dương của n thì 1 d 2 d 46d đều có số dư phân biệt khi chia cho 47.
  • ii) τ(n)2 | n.
  • a) Chứng minh rằng nếu n là số “tốt” thì n là số chính phương.
  • b) Tìm tất cả số “tốt” không vượt quá 2025.
• Bài 3: Cho △ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H. Gọi A′, D lần lượt là điểm đối xứng của A qua BC và đối xứng của A qua O. Gọi P là điểm trên BC sao cho AP ⊥ OH. H′ là trực tâm của △APD.
  • a) Nếu ∠BAC = 60◦ thì H′D đi qua điểm chính giữa cung nhỏ BC của (O).
  • b) Chứng minh rằng H′A′ ⊥ OP. Nếu ∠BAC = 45◦ thì H′ đối xứng với O qua BC.