Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Quảng Ngãi

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh thành lập đội tuyển tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ngãi. Kỳ thi được diễn ra trong hai ngày: 24/09/2024 và 25/09/2024.

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Quảng Ngãi:

Bài 1:

Cho tam giác ABC nhọn, không cân. Gọi (I) là đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh BC, CA, AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là chân đường cao kẻ từ D của tam giác DEF, L là điểm đối xứng của I qua EF.
- a) Chứng minh rằng các điểm H, K, L có cùng phương tích đối với đường tròn đường kính BE và đường tròn đường kính CF.
- b) Đường thẳng DK cắt AH tại M. Chứng minh rằng đường tròn tâm H, bán kính HM đi qua trực tâm của tam giác DME.

Bài 2:

Cho một dãy gồm 30 chữ số 1 như bên dưới.
- a) Có bao nhiêu cách thêm 5 chữ số 0 vào dãy đã cho để tạo thành một xâu kí tự sao cho giữa hai chữ số 0 nào cũng có ít nhất 4 chữ số 1?
- b) Có bao nhiêu cách điền một hoặc nhiều dấu cộng (+) vào giữa các chữ số 1 trong dãy đã cho ban đầu sao cho tổng thu được chia hết cho 30?

Bài 3:

Cho ngũ giác đều P1. Chứng minh rằng không thể chọn một hệ trục tọa độ trên mặt phẳng chứa P1 sao cho tất cả các đỉnh của ngũ giác đã cho đều có tọa độ nguyên.
Kéo dài các cạnh của ngũ giác đều P1 cắt nhau tạo ra hình sao S1. Nối các đỉnh kề nhau của S1 ta nhận được ngũ giác đều mới P2 và lại kéo dài các cạnh của P2 tạo ra hình sao mới S2. Lặp lại quá trình ấy ta thu được dãy vô hạn các hình ngũ giác đều và hình sao.
Kí hiệu là độ dài cạnh của các ngũ giác đều và là độ dài cạnh của các hình sao. Xét dãy số (un).
- Chứng minh rằng kể từ số hạng thứ ba, mỗi số hạng của dãy bằng tổng của hai số hạng đứng ngay trước nó.
- c) Hỏi trong dãy tồn tại hay không hình ngũ giác và hình sao mà độ dài cạnh của hình sao gấp 2024 lần độ dài cạnh của hình ngũ giác? Vì sao?.