Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 - 2023 sở GD&ĐT Yên Bái
Đề chọn đội tuyển thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Yên Bái năm học 2022 - 2023
Website MeToan.Com trân trọng giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi cấp Quốc gia THPT môn Toán năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Yên Bái. Kỳ thi được diễn ra trong hai ngày 30/09/2022 (ngày thi thứ nhất) và 01/10/2022 (ngày thi thứ hai).
Dưới đây là trích dẫn nội dung một số bài toán trong đề thi:
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn, không cân, có đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng qua C song song với AB cắt BE tại M, đường thẳng qua B song song với AC cắt CF tại N. Điểm D là hình chiếu của H trên MN, I là trung điểm của BC.
- Chứng minh AH, DI, EF đồng quy.
- Gọi J là trung điểm của AH. Đường thẳng IJ cắt BE, CF lần lượt tại U, V. Đường tròn ngoại tiếp tam giác HUV và đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt nhau tại điểm T khác H. Chứng minh ba điểm A, T, I thẳng hàng.
Bài 2: Cho số nguyên dương n và số nguyên tố lẻ p. Biết p là ước của 3^(2^n) + 1, chứng minh p – 1 chia hết cho 2^(n + 1).
Bài 3: Cho 2n điểm phân biệt trong không gian (với n >= 2) sao cho trong chúng không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào cùng nằm trên một mặt phẳng. Xét n^2 + 1 đoạn thẳng bất kì, mỗi đoạn có hai đầu mút là hai trong số 2n điểm trên. Chứng minh rằng có ít nhất một tam giác được tạo thành từ n^2 + 1 đoạn thẳng trên.
