Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Kiên Giang
Đề chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 sở GD&ĐT Kiên Giang
MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Kiên Giang. Kỳ thi được diễn ra trong hai ngày 30 và 31 tháng 08 năm 2022.
Dưới đây là trích dẫn nội dung đề thi:
Bài 1: Cho dãy đa thức (Pn(x)) xác định bởi: P0(x) = x³ – 4x và Pn+1(x) = Pn(1 + x).Pn(1 – x) – 1 với mọi số tự nhiên n và mọi x thuộc R. a) Tính P2022(2). b) Chứng minh rằng, tồn tại một đa thức Q(x) với hệ số nguyên sao cho P2022(x) = x²⁰²³.Q(x) với mọi x thuộc R.
Bài 2: Cho số nguyên n >= 2. Xét m là một số nguyên dương sao cho tồn tại một tập hợp T thoả mãn đồng thời các tính chất sau đây:
- Mỗi phần tử của T là một tập con m phần tử của tập {1; 2; 3; …; mn}.
- Mỗi cặp phần tử của T có không quá 1 phần tử chung.
- Mỗi phần tử của tập {1; 2; 3; …; mn} thuộc đúng hai phần tử của T. Tìm giá trị lớn nhất có thể của m.
Bài 3: Cho tam giác không cân ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt AB và AC tương ứng tại Ab và Ac; đường tròn ngoại tiếp tam giác COA cắt BA và BC tương ứng tại Ba và Bc; và đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB cắt CA và CB tương ứng tại Ca và Cb (các điểm Ab, Ac, Ba, Bc, Ca, Cb không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Các cặp đường thẳng (BcBa;CaCb), (CaCb;AbAc), (AbAc;BcBa) lần lượt có các giao điểm là X, Y, Z. Chứng minh rằng: a) Các điểm O, Ba, Ca thẳng hàng. b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ tiếp xúc với (O).
