Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT TP HCM
Ngày 20 và 21 tháng 10 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán THPT năm học 2020 – 2021.
Kỳ thi chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 do sở GD&ĐT TP HCM tổ chức gồm 02 bài thi, mỗi bài thi gồm 04 bài toán và có thời gian làm bài là 180 phút.
Dưới đây là trích dẫn một số bài toán trong đề thi chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 của sở GD&ĐT TP HCM:
Bài toán hình học: Cho tam giác ABC nhọn không cân, nội tiếp đường tròn (O), có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Tia AI cắt các đường thẳng DE, DF lần lượt tại X, Y. Đường tròn tâm M đường kính XY cắt BC tại các điểm S, T.
- a) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại X, Y của đường tròn (DXY) cắt nhau trên đường cao qua đỉnh A của tam giác ABC và AX.AY = AS.AT.
- b) Chứng minh rằng đường tròn (MST) tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (I).
Bài toán số học: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn φ(n) (hàm Euler) là lũy thừa của 2.
- a) Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố lẻ (nếu có) của n đều có dạng 2^k + 1 với k thuộc N.
- b) Tìm n biết rằng n là số hoàn hảo (số hoàn hảo là số bằng với tổng các ước nguyên dương nhỏ hơn nó).
Bài toán tổ hợp: Bàn cờ vua “kỳ quặc” cũng là một hình vuông 8 x 8 nhưng vị trí các ô đen trắng không giống bàn cờ vua thông thường mà được sắp xếp thỏa mãn điều kiện: số ô đen trong mỗi cột bằng nhau và số ô đen trong mỗi hàng đôi một khác nhau.
- a) Hỏi số ô đen và số ô trắng trong bàn cờ vua “kỳ quặc” có bằng nhau hay không?
- b) Hỏi trong bàn cờ vua “kỳ quặc” có thể có tối đa bao nhiêu cặp ô có chung cạnh và khác màu?
