Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Phú Thọ (Ngày 1)
Vào thứ Năm, ngày 24 tháng 09 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Thọ đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia lớp 12 THPT môn Toán năm học 2020 – 2021, ngày thi thứ nhất.
Đề thi chọn đội tuyển HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 của Sở GD&ĐT Phú Thọ (Ngày 1) gồm 01 trang với 04 bài toán dạng tự luận. Thời gian làm bài thi là 180 phút (không kể thời gian giám thị coi thi phát đề).
Dưới đây là một số nội dung đáng chú ý trong đề thi:
Bài 1: Giả sử O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC với bán kính R, r tương ứng. Gọi P là điểm chính giữa cung BAC, QP là đường kính của (O), D là giao điểm của PI và BC, F là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AID với đường thẳng PA. Lấy E trên tia DP sao cho DE = DQ.
a) Chứng minh rằng góc IDF = 90 độ.
b) Giả sử AEF = APE, chứng minh rằng sin2 BAC = 2r/R.
Bài 2: Cho dãy số thực dương (an) (n >=1) thỏa mãn điều kiện: a1 + a2 + … + an + an+1 + an+2 < 4an+1. Chứng minh rằng a1 + a2 + … + an =< an+1 với mọi n thuộc N*.
Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho S là tập hợp các điểm (x;y) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) x và y thuộc N.
ii) 0 ≤ y ≤ x ≤ 2020.
a) Tính số phần tử của S.
b) Hỏi có bao nhiêu tập con A gồm 2020 phần tử của S sao cho A không chứa hai điểm (x1;y1) và (x2;y2) thỏa mãn: (x1 – x2)(y1 – y2) = 0?.
