Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2020 môn Toán - Sở GD&ĐT Bắc Ninh
Đề thi chọn đội tuyển dự thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2019-2020 của Sở GD&ĐT Bắc Ninh
Vào tháng 9 năm 2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc Ninh đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2019 – 2020. Kỳ thi diễn ra trong hai ngày 24/09/2019 và 25/09/2019.
Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia 2020 môn Toán của Sở GD&ĐT Bắc Ninh bao gồm 7 bài toán, thời gian làm bài cho mỗi ngày thi là 180 phút. Đề thi được biên soạn công phu, có lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm rõ ràng.
Dưới đây là trích dẫn một số bài toán tiêu biểu trong đề thi:
Bài toán 1: Cho một đa giác đều A1A2 … A20 có 10 đỉnh của đa giác được tô màu xanh, 10 đỉnh còn lại được tô màu đỏ. Ta nối các đỉnh với nhau.
a) Gọi a là số các đoạn thẳng nối hai đỉnh màu đỏ liên tiếp, b là số các đoạn thẳng nối hai đỉnh màu xanh liên tiếp. Chứng minh a = b.
b) Xét tập hợp S gồm đường chéo A1A4 và tất cả các đường chéo khác của đa giác mà có cùng độ dài với nó. Chứng minh trong tập hợp đó, số đường chéo có hai đầu là màu đỏ bằng với số đường chéo có hai đầu là màu xanh. Gọi k là số đường chéo có hai đầu là màu xanh trong, tìm tất cả các giá trị có thể có của k.
Bài toán 2: Cho tam giác nhọn ABC, D là một điểm bất kì trên cạnh BC. Trên cạnh AC, AB lần lượt lấy các điểm E, F sao cho ED = EC, FD = FB. Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, BDF, CDE.
a) Gọi H là trực tâm của tam giác JDK. Chứng minh rằng tứ giác IJHK nội tiếp.
b) Chứng minh rằng khi D chuyển động trên BC, đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK luôn đi qua một điểm cố định khác điểm I.
Bài toán 3: Cho hai dãy số (un), (vn) xác định như sau u0 = a, v0 = b với hằng số thực a, b cho trước thỏa mãn 0 < a < b và un+1 = (un + vn)/2, vn+1 = √un+1.vn với mọi số tự nhiên n.
a) Chứng tỏ hai dãy đã cho đều hội tụ và có giới hạn bằng nhau.
b) Tìm giới hạn đó theo a, b.
Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán năm 2019-2020 của Sở GD&ĐT Bắc Ninh được đánh giá là có tính phân loại cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững vàng và khả năng tư duy logic tốt.
