Đề Thi Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia Môn Toán THPT 2025-2026 Sở GD&ĐT Quảng Ngãi

Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh để thành lập đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia môn Toán luôn là một trong những sân chơi trí tuệ đỉnh cao, thu hút sự quan tâm của đông đảo giáo viên và học sinh chuyên Toán trên cả nước. MeToan.Com xin trân trọng giới thiệu bộ đề thi chính thức của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ngãi, được tổ chức trong hai ngày 18 và 19 tháng 09 năm 2025, nhằm tuyển chọn những gương mặt xuất sắc nhất cho đội tuyển VMO năm học 2025 – 2026.

Đề thi được đánh giá có cấu trúc quen thuộc của các kỳ thi VMO, bao gồm các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực cốt lõi của Toán học phổ thông và Olympic như Số học, Đại số, Hình học, Giải tích và Tổ hợp. Các bài toán không chỉ đòi hỏi kiến thức nền tảng vững chắc mà còn yêu cầu tư duy sáng tạo, khả năng phân tích sâu và kỹ năng giải quyết vấn đề phức tạp. Dưới đây là hai bài toán tiêu biểu được trích từ đề thi:

Bài toán 1 (Tổ hợp): Bài toán xoay quanh một bảng ô vuông lớn có kích thước 999 × 999.

• Câu a) đặt ra một vấn đề về biến đổi trạng thái. Ban đầu, mỗi ô chứa một số nguyên dương. Thí sinh được phép thực hiện hai loại thao tác: giảm 1 đơn vị cho tất cả các số khác không trên cùng một hàng, hoặc nhân đôi tất cả các số trên cùng một cột. Thử thách đặt ra là chứng minh rằng luôn tồn tại một dãy hữu hạn các phép biến đổi để đưa tất cả các số trong bảng về cùng một giá trị. Đây là dạng toán đòi hỏi tư duy thuật toán và khả năng tìm ra các đại lượng bất biến hoặc đơn biến.
• Câu b) là một bài toán tối ưu hóa trong tổ hợp. Yêu cầu tìm số ô đen ít nhất cần tô trên bảng sao cho mọi bảng con kích thước 5x5 đều chứa ít nhất 8 ô đen. Dạng toán này kiểm tra khả năng xây dựng một cấu hình tối ưu và chứng minh tính tối ưu của nó.

Bài toán 2 (Phương trình hàm - Đa thức): Bài toán yêu cầu tìm đa thức P(x) có hệ số thực không âm và hàm số f(x) xác định trên tập số thực dương, thỏa mãn phương trình hàm: f(x + P(x)f(y)) = (y + 1)f(x).

• Câu a) yêu cầu chứng minh các tính chất cơ bản của hàm số f, bao gồm tính song ánh và tính liên tục. Đây là những bước đệm quan trọng, giúp định hình các đặc điểm của hàm số để giải quyết bài toán ở câu b).
• Câu b) là yêu cầu chính: tìm tất cả hàm số f và đa thức P(x) (khác hằng, với P(0) = 0) thỏa mãn điều kiện đề bài. Đây là một câu hỏi khó, kết hợp nhuần nhuyễn giữa kỹ thuật xử lý phương trình hàm và lý thuyết đa thức.