Đề Thi Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia Môn Toán THPT 2025

Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia luôn là một trong những sự kiện quan trọng và được mong đợi nhất đối với cộng đồng giáo viên và học sinh yêu Toán trên cả nước. MeToan.Com xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh đề thi chính thức của kỳ thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán lớp 12 THPT năm học 2025 – 2026, do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội tổ chức.

Kỳ thi đã diễn ra trong hai ngày, 22/09/2025 và 23/09/2025, nhằm tuyển chọn những cá nhân xuất sắc nhất đại diện cho Thủ đô tham gia kỳ thi VMO toàn quốc. Đề thi năm nay được đánh giá có cấu trúc quen thuộc nhưng độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức chuyên sâu, tư duy logic sắc bén và khả năng giải quyết các vấn đề toán học phức tạp trong nhiều lĩnh vực như Đại số, Hình học phẳng, và Lý thuyết số.

Đây là một tài liệu tham khảo vô cùng giá trị, giúp các em học sinh đang trong quá trình ôn luyện có cái nhìn tổng quan về mức độ và dạng bài toán thường xuất hiện trong các kỳ thi đỉnh cao, từ đó xây dựng lộ trình học tập hiệu quả.

Trích dẫn một số bài toán tiêu biểu trong đề thi

Bài toán 1 (Đại số): Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên, có bậc bằng 2026 và thỏa mãn điều kiện: P(x) không thể phân tích thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng nếu r là một nghiệm thực của P(x) thì 5r + 8 không phải là một nghiệm của P(x).

Bài toán 2 (Hình học phẳng): Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC < BC) nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi CD là đường kính của (O). Đường thẳng đối xứng với BA qua đường thẳng BD cắt đường thẳng CD tại điểm E. Đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE tại điểm thứ hai là F.

a) Chứng minh rằng tam giác FBC là một tam giác cân.

b) Gọi H là giao điểm của BD và EA, I là giao điểm của AD và EB. Gọi K là giao điểm của HI và AB, J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE. Tia đối của tia OJ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CDK tại điểm L. Chứng minh rằng OL = 2OJ.

Bài toán 3 (Hình học phẳng): Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC) có đường cao AD. Trên đoạn AD lấy điểm K (K khác A, D), trên đoạn DC lấy điểm M (M khác D, C). Tia BK cắt AC tại E và tia CK cắt AB tại F. Đường thẳng EF lần lượt cắt các đường thẳng AM, MK và AD tại các điểm G, I, H. Đường trung trực của đoạn thẳng HD cắt đường thẳng EF tại T. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của tam giác AEF, tam giác AIG và tam giác THD cùng đi qua một điểm chung.