Đề Thi Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia Môn Toán THPT Năm 2025

MeToan.Com trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo cùng các em học sinh bộ đề thi chính thức trong kỳ thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2025 – 2026. Đề thi do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Thọ tổ chức, diễn ra trong hai ngày 18 và 19 tháng 09 năm 2025.

Đây là một tài liệu tham khảo chất lượng, giúp các em học sinh đang trong quá trình ôn luyện có cơ hội tiếp cận với các dạng toán nâng cao, bám sát cấu trúc của một kỳ thi đỉnh cao. Việc thử sức với bộ đề này sẽ là bước chuẩn bị quan trọng để các em tự đánh giá năng lực và hoàn thiện kiến thức, kỹ năng giải toán.

Trích Dẫn Một Số Bài Toán Tiêu Biểu Trong Đề Thi

Bài toán Hình học: Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên (O) sao cho BC không là đường kính. Điểm A di chuyển trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn và AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Đường thẳng AD cắt (O) tại điểm A’ khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt đoạn AH tại I. a) Gọi M là giao của IE và A’B, N là giao của IF và A’C. Chứng minh rằng MN vuông góc với OН. b) Gọi K là điểm đối xứng với O qua BC và T là giao điểm của KH và EF. Chứng minh rằng đường thẳng qua A song song với DT luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
Bài toán Tổ hợp: Cho một bảng ô vuông 25 × 26 gồm 25 hàng và 26 cột. Bạn An xếp 105 viên bi vào các ô vuông đơn vị của bảng thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: mỗi ô vuông đơn vị có tối đa một viên bi và trên mỗi hàng, mỗi cột đều có ít nhất một viên bi. Một viên bi được gọi là thú vị nếu số bi trong cùng hàng với nó nhiều hơn số bi trong cùng cột với nó. a) Chứng minh rằng với mọi cách xếp bi của bạn An thì luôn tồn tại ít nhất một viên bi thú vị. b) Tìm số viên bi thú vị lớn nhất có thể.
Bài toán Đại số: Cho trước số nguyên n > 1. Tìm tất cả các đa thức P(x) khác hằng với hệ số nguyên thỏa mãn tồn tại đa thức g(x) hệ số nguyên sao cho tất cả các hệ số của đa thức P(x)Q(x) – 1 đều chia hết cho n.

Các bài toán trong đề thi được đánh giá có độ khó cao, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn phải có tư duy logic sáng tạo, khả năng phân tích và tổng hợp vấn đề một cách sâu sắc. Đây thực sự là nguồn tư liệu quý giá cho các bạn học sinh trên cả nước đang hướng tới mục tiêu chinh phục kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán.