Đề thi học sinh giỏi Toán 7 năm 2017-2018 phòng GD&ĐT TP Thái Nguyên

Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm học 2017 - 2018

Phòng Giáo dục và Đào tạo thành phố Thái Nguyên

(Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4.0 điểm)

1. Tìm x, biết: a) $|x-1|+|x+3|=4$ b) $|x^2+|x-1||=x^2+2$
2. Cho $\frac{a}{m}=\frac{b}{n}=\frac{2a-3b}{?}$. Biết m, n, a, b đều khác 0. Hãy điền biểu thức thích hợp vào chỗ có dấu "?".

Câu 2: (4.0 điểm)

1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: $5x^2+y^2-2xy-4x+2=0$.
2. Cho đa thức $P(x)=a{x}^2+bx+c$ thỏa mãn $P(x)\equiv 0(mod3)$ với mọi x nguyên. Chứng minh a, b, c đều chia hết cho 3.

Câu 3: (4.0 điểm)

1. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn $a^2+2b^2+2ab-4a+2b-8=0$. Chứng minh rằng a là số chính phương.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD (D thuộc AC). Vẽ DH vuông góc với BC (H thuộc BC). Gọi K là giao điểm của BA và HD. Chứng minh rằng: a) AD = HD. b) BD vuông góc với KC. c) $\mathrm{\angle }DKC=\mathrm{\angle }DCK$.

Câu 4: (2.0 điểm) Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y\le 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy$.

----- Hết -----

Ghi chú:

• Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
• Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.