Phương pháp giải bài toán GTLN - GTNN biểu thức mũ - lôgarit nhiều biến số

Nắm vững phương pháp giải bài toán GTLN - GTNN biểu thức mũ - lôgarit nhiều biến số trong đề thi VDC

Tài liệu gồm 36 trang, được biên soạn bởi quý thầy, cô giáo Nhóm Toán VDC & HSG THPT, hướng dẫn phương pháp giải bài toán GTLN – GTNN biểu thức mũ – lôgarit nhiều biến số. Đây là dạng toán VDC thường gặp trong chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 2.

BÀI TOÁN GTLN – GTNN BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT HAI BIẾN SỐ

Dưới đây là một số cách giải phổ biến:

• Cách 1: Đánh giá áp dụng BĐT cơ bản đã biết như BĐT Côsi và BĐT Bunhiacopxki.
• Cách 2: Áp dụng phương pháp hàm số, hàm đặc trưng. Thông thường ta thực hiện theo các bước sau:
  • Biến đổi các số hạng chứa trong biểu thức về cùng một đại lượng giống nhau.
  • Đưa vào một biến mới t bằng cách đặt t bằng đại lượng đã được biến đổi như trên.
  • Xét hàm số f(t) theo biến t. Khi đó ta hình thành được bài toán tương đương sau: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t) với t thuộc D.
  • Lúc này ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t) với t thuộc D.
  • Chú ý:
    • Ta chứng minh được: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D mà phương trình f(x) = k không có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất trên D.
    • Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D mà phương trình f(x) = g(x) có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất trên D.
    • Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì f(x) < f(y) nếu x < y (hoặc x > y).
• Cách 3: Áp dụng hình học giải tích.

BÀI TOÁN GTLN – GTNN BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT NHIỀU BIẾN SỐ

Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho dạng bài toán này:

• Ví dụ 1: Cho x, y, z lần lượt là các số thực dương và thỏa mãn hệ phương trình sau: