Phương Pháp Ghép Trục: Cẩm Nang Giải Nhanh Bài Toán Hàm Hợp

Bài viết này trình bày phương pháp ghép trục, một kỹ thuật hiệu quả giúp giải quyết nhanh chóng các bài toán liên quan đến hàm hợp – một dạng bài toán vận dụng cao thường gặp trong chương trình Giải tích 12 và các đề thi thử THPT môn Toán. Nội dung được trích đoạn từ cuốn sách "Nắm Trọn Chuyên Đề Hàm Số" của nhóm tác giả Tư Duy Toán Học 4.0: Phan Nhật Linh, Nguyễn Duy Hiếu, Nguyễn Khánh Linh, Lê Huy Long.

A. Lý Thuyết Phương Pháp Ghép Trục

Để giải quyết bài toán hàm hợp g = f(u(x)) bằng phương pháp ghép trục, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số g = f(u(x)). Giả sử tập xác định tìm được là D.

Bước 2: Xây dựng bảng biến thiên kép

Xét sự biến thiên của hàm u = u(x) và hàm y = f(x).
Lập bảng biến thiên kép gồm 3 dòng để thể hiện sự tương quan giữa u và f(u):
- Dòng 1: Xác định và sắp xếp các điểm đặc biệt của hàm u = u(x) theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải (xem chú ý 1).
- Dòng 2: Điền các giá trị ui tương ứng với mỗi điểm đặc biệt của u(x). Trên mỗi khoảng, bổ sung các điểm kì dị của hàm số y = f(x) và sắp xếp tất cả các điểm theo thứ tự (xem chú ý 2).
- Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm số dựa vào bảng biến thiên của hàm y = f(x) bằng cách thay u = x và f(u) = f(x).

Bước 3: Phân tích và kết luận

Dựa vào bảng biến thiên hàm hợp g = f(u(x)) để phân tích và giải quyết các yêu cầu của bài toán.
Đưa ra kết luận dựa trên kết quả phân tích.

B. Chú Ý Quan Trọng Khi Sử Dụng Phương Pháp Ghép Trục

Chú ý 1: Xác định điểm đặc biệt của u(x)

Điểm đặc biệt của u = u(x) bao gồm:
- Các điểm biên của tập xác định D.
- Các điểm cực trị của hàm số u = u(x).
Trường hợp đặc biệt:
- Nếu xét hàm u = |u(x)|: Cần bổ sung nghiệm của phương trình u(x) = 0 (tức hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số u = u(x) với trục Ox).
- Nếu xét hàm u = u(|x|): Cần bổ sung điểm x = 0 (tức hoành độ giao điểm của đồ thị u = u(x) với trục Oy).

Chú ý 2: Xác định điểm đặc biệt của f(x)

Điểm đặc biệt của hàm số y = f(x) bao gồm:
- Các điểm mà tại đó f(x) và f'(x) không xác định.
- Các điểm cực trị của hàm số y = f(x).
Trường hợp đặc biệt:
- Nếu xét hàm g = |f(u(x))|: Cần bổ sung nghiệm của phương trình f(x) = 0 vào dòng 2.
- Nếu xét hàm g = f(u(|x|)): Cần bổ sung điểm x = 0 vào dòng 2.

Lưu ý: Có thể sử dụng mũi tên để biểu diễn chiều biến thiên của hàm số u = u(x) trên bảng biến thiên kép.