Đề thi HSG Toán 9 năm 2020 - 2021 phòng GD&ĐT Sầm Sơn, Thanh Hóa
Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán 9 - Năm học 2020 - 2021 - Phòng GD&ĐT Sầm Sơn
Vào thứ Ba, ngày 29 tháng 09 năm 2020, phòng Giáo dục và Đào tạo thành phố Sầm Sơn, tỉnh Thanh Hóa đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp THCS cho năm học 2020 - 2021.
Đề thi gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, thời gian làm bài là 150 phút.
Dưới đây là một số trích dẫn từ đề thi:
Bài 1: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x^4 + 2y^2 – 17x^2 – 2xy + 90 = 6y.
Bài 2: Cho ba số nguyên dương x, y, z. Chứng minh rằng biểu thức sau chia hết cho 5(x – y)(y – z)(z – x): (x – y)^5 + (y – z)^5 + (z – x)^5.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm thuộc cạnh BC (E khác B). Tia AE cắt tia DC tại K. Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với AE. Đường thẳng d cắt đường thẳng CD tại I.
a) Chứng minh rằng: 1/AE^2 + 1/AK^2 không thay đổi khi E di chuyển trên cạnh BC.
b) Đường thẳng đi qua A và vuông góc với IE cắt đường thẳng CD tại M. Chứng minh rằng: 1/AE + 1/AK = √2/AM.
c) Xác định vị trí của điểm E để độ dài đoạn thẳng IK đạt giá trị nhỏ nhất.
